Αποσπάσματα βιβλίων
Ας πάρουμε μια σφαίρα –ας πούμε, ένα μπαλόνι ή μια μπάλα του μπάσκετ. Τώρα, θεωρήστε ένα οποιοδήποτε σημείο στην επιφάνεια της μπάλας –για παράδειγμα, το στόμιο της βαλβίδας. (Θυμηθείτε: η επιφάνεια της μπάλας είναι δισδιάστατη, ενώ η μπάλα, είναι τρισδιάστατη.) Θα το ονομάσουμε «σημείο αφετηρίας». Πάρτε μια πορτοκαλί ελαστική κλωστή, στερεώστε το ένα άκρο της στο σημείο αφετηρίας, κάντε μια βόλτα στην επιφάνεια της μπάλας (ελευθερώνοντας κλωστή), και ελάτε πάλι στο σημείο αφετηρίας. Σχηματίσατε έναν βρόχο. Τώρα στερεώστε μια μαύρη ελαστική κλωστή στο ίδιο σημείο, κάντε μια διαφορετική βόλτα στην επιφάνεια της μπάλας και ελάτε πάλι στο σημείο αφετηρίας (σχηματίσατε έναν άλλο βρόχο). Μπορείτε να μετακινήσετε τις κλωστές (αλλάζοντας το σχήμα των βρόχων) –μπορείτε να τις σπρώξετε, να τις τραβήξετε, να τις τεντώσετε και να τις μαζέψετε– μέχρι να βρεθούν η μία δίπλα στην άλλη (ο ένας βρόχος δίπλα στον άλλον, ή ακόμα και να επικαλύψει ο ένας τον άλλον). Αυτό μπορείτε να το κάνετε με όσες κλωστές θέλετε (σχηματίζοντας όσους βρόχους θέλετε), ανεξάρτητα από το σχήμα του βρόχου που δημιουργήθηκε καθώς ελευθερώνατε κλωστή βολτάροντας πάνω στην επιφάνεια της μπάλας (ή και γύρω από ολόκληρη την μπάλα). Επιπλέον, μπορείτε να κάνετε κάτι ακόμη, η σημασία του οποίου θα φανερωθεί αργότερα: μόλις επιστρέψετε στο σημείο αφετηρίας, μπορείτε να μαζέψετε τις κλωστές (το ένα άκρο από την κάθε κλωστή είναι στερεωμένο στο σημείο αφετηρίας, ενώ εσείς κρατάτε το άλλο άκρο και μαζεύετε την κλωστή: οι βρόχοι “σέρνονται” πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας καθώς μικραίνουν ολοένα, μέχρι να κλείσουν εντελώς) τόσο ώστε να συρρικνωθούν σε ένα σημείο (στο σημείο αφετηρίας).
Τώρα θεωρήστε έναν τόρο, ας πούμε έναν λουκουμά με μια τρύπα στη μέση, και επιλέξετε ένα «σημείο αφετηρίας», οπουδήποτε πάνω στη ζαχαρωμένη επιφάνειά του. Πάρτε μια μπλε ελαστική κλωστή, στερεώστε το ένα άκρο της στο σημείο αφετηρίας, και ξεκινήστε στη βόλτα σας στην επιφάνεια του λουκουμά, γύρω γύρω από την τρύπα (ελευθερώνοντας κλωστή κατά τη διαδρομή σας), μέχρι να φτάσετε πάλι στο σημείο αφετηρίας (έχετε σχηματίσει έναν βρόχο). Τώρα, πάρτε μια κίτρινη ελαστική κλωστή, στηρίξτε το ένα άκρο της σταθερά στο σημείο αφετηρίας, και ξεκινήστε (ελευθερώνοντας κλωστή) για μαι διαφορετική βόλτα πάνω στην επιφάνεια του λουκουμά: αυτή τη φορά, περάστε μέσα από την τρύπα, βγείτε στο κάτω μέρος του λουκουμά και βολτάρετε πάνω στην επιφάνειά του μέχρι να συναντήσετε το σημείο αφετηρίας (έχετε σχηματίσει έναν άλλο βρόχο). Έχετε επιστρέψει στο σημείο αφετηρίας και αρχίζετε να μαζεύετε τις κλωστές (να κλείνετε τους βρόχους). Θα διαπιστώσετε ότι και στις δύο περιπτώσεις οι κλωστές είναι αδύνατο να μαζευτούν και να συρρικνωθούν στο σημείο αφετηρίας (οι βρόχοι δεν μπορούν να συρρικνωθούν μέχρι να κλείσουν εντελώς). Στην πρώτη περίπτωση, καθώς μαζεύουμε την μπλε κλωστή, ο βρόχος αρχίζει να κλείνει, όμως κάποια στιγμή (καθώς σύρεται πάνω στην επιφάνεια του λουκουμά) θα πέσει μέσα στην τρύπα. (Η κλωστή θα χάσει την επαφή της με την επιφάνεια του λουκουμά –αυτό απαγορεύεται.) Στη δεύτερη περίπτωση, καθώς μαζεύουμε την κίτρινη κλωστή, ο βρόχος θα σφίξει γύρω από τον βραχίονα του λουκουμά και δεν θα κλείνει άλλο (ο λουκουμάς τον εμποδίζει, δεδομένου ότι το ένα άκρο της κλωστής είναι στερεωμένο στο σημείο αφετηρίας και το άλλο βρίσκεται στο χέρι σας που μαζεύει συνεχώς την κλωστή). Για να κατορθώσετε να μαζέψετε την κλωστή, θα πρέπει να την κόψετε, να την αφήσετε να περάσει μέσα από την τρύπα, και μετά να ενώσετε τις δύο άκρες της –αυτό απαγορεύεται. Οι δύο κλωστές μπορούν, επίσης, να μετακινηθούν στην επιφάνεια του λουκουμά, αλλά δεν θα βρεθούν ποτέ η μία δίπλα στην άλλη. Έτσι, για τον λουκουμά, υπάρχουν δύο ειδών βρόχοι: μπλε βρόχοι που πάνε γύρω του, και κίτρινοι βρόχοι που περνούν μέσα από την τρύπα του (σαν περιέλιξη). Δύο οποιοιδήποτε μπλε βρόχοι μπορούν να ευθυγραμμισθούν και δύο οποιοιδήποτε κίτρινοι βρόχοι μπορούν, επίσης, να τοποθετηθούν ο ένας δίπλα στον άλλον. Όμως, ένας μπλε βρόχος δεν μπορεί, ποτέ, να ευθυγραμμισθεί με έναν κίτρινο. Επίσης, κανένας από τους μπλε ή κίτρινους βρόχους δεν μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο (στο σημείο αφετηρίας). Ο κίτρινος βρόχος συναντά αντίσταση στο σώμα του λουκουμά, γεγονός που εμποδίζει την περαιτέρω συρρίκνωση· ο μπλε βρόχος θα έπρεπε να διασχίσει το κενό (της τρύπας) –κάτι που δεν είναι θεμιτό. (Οι κλωστές επιτρέπεται μόνον να γλιστρούν πάνω στην επιφάνεια, όχι να κρέμονται στο κενό.) Ωστόσο, μπορούμε να θεωρήσουμε μια τρίτη κλωστή· ας πούμε με χρώμα πορτοκαλί. Στερεώνουμε το ένα άκρο της στο σημείο αφετηρίας, και αρχίζουμε τη βόλτα μας (ελευθερώνοντας κλωστή) προς το πλάι του λουκουμά. Όταν επιστρέψουμε στην αφετηρία (από την ίδια πλευρά του λουκουμά) και αρχίσουμε το μάζεμα, η πορτοκαλί κλωστή μπορεί να συρρικνωθεί (ο βρόχος μπορεί να κλείσει) στο γνωστό μας σημείο.
Υπάρχουν επίσης βρόχοι που τυλίγονται τόσο γύρω από τον λουκουμά όσο και μέσα από την τρύπα του, και βρόχοι που τυλίγονται δύο φορές γύρω από τον λουκουμά και μία μέσα από την τρύπα, κ.ο.κ… Άραγε, θα μπορούσε αυτή η παράξενη συλλογή βρόχων –αυτοί που συρρικνώνονται, αυτού που μόλις αποφεύγουν την τρύπα, και οι απείρως πολλοί άλλοι βρόχοι που σχηματίζονται από ένα σωρό συνδυασμούς– να αξιοποιηθεί ώστε να περιγράψει τον χώρο; Αυτή είναι η ουσία της Εικασίας του Πουανκαρέ για τις τρεις διαστάσεις. Για ανώτερες διαστάσεις, χρειάζονται περισσότερα.
George G. Szpiro
η «εικασία» του Πουανκαρέ
Τραυλός, 2009, σελίδα 152